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量子物理中的Green函数定义及其应用

在经典物理中,Green函数主要被当做一种求解线性微分方程数学物理方法来使用。在量子物理中,其定义稍显“不同”:

当然其本质还是求解线性微分方程,关于它们之间的联系,详见博客文章:量子物理中Green函数与其广义定义的联系。在这里,我们先看看Green函数在量子物理中是如何被定义的。

Green函数的定义

我们将系统看做一个微扰系统,即系统总哈密顿量$\hat{H}$为零级近似哈密顿量$\hat{H_0}$与微扰哈密顿量$\hat{V}$之和:

那么可将其代入定态薛定谔方程$\hat{H} \psi = E \psi$中,有

移项整理后有

两边同时乘以逆算符$(E-\hat{H_0})$,有

此时我们可以定义零级近似哈密顿量$\hat{H_0}$所对应的Green函数为

自然地,系统总哈密顿量$\hat{H}$所对应的Green函数可被定义为

Green函数与态密度的关系

量子物理/固体物理中,Green函数可以通过与态密度相联系,以诠释其物理意义. 态密度(Density of States, DOS)可被定义为

上式可以直观地理解为,当能量$E_{j}$取值为$E$的时候,在该能量位置的电子数目加1. 如果有$N$个能量为$E$的电子,那么其Kronecker $\delta$全部取1,计数为$N$. 依次类推,就得到了电子数目$N$在能量$E$上的分布,这也就是态密度的定义.

为了表达方便,接下来的表述都将采用Dirac符号. 由于同一个哈密顿量作用在不同的本征矢上会得到不同的本征能量,因此我们可以定义

Green函数可以被看做一个算符. 其可以作用在态矢上得到

由基础态的正交性有

于是

以上公式对j进行求和有

在量子力学中,一个算符可以被用一个矩阵表示。上式可以认为是对该矩阵对角线元素求和(其他元素如$<\psi_{1}|G|\psi_{2}> $, $<\psi_{3}|G|\psi_{2}> $都不是对角线上的元素),即求矩阵的迹(Trace). 于是上式也可以写成

这时候对比上式与态密度的定义$\rho(E) = \sum_j \delta (E-E_j)$,已经可以发现Green函数和态密度之间可以存在联系,只不过相差了一个$\delta$函数. 接下来的工作就是要在Green函数中添加一个$\delta$函数. 为了避免分母为零,引入复数能量$E \rightarrow E+is$. 再令$\xi_{j}=E-E_{j}$,则上式可以写为

由Plemelj公式[1]

我们所在意的仅仅是$\delta$函数部分,因此只取上述复数的虚部(Imaginary)应有

回到态密度的定义,得到Green函数与态密度的关系如下

对单独的一个态a,可以有关系

参考文献

[1] Davison S G, Sulston K W. Green-function theory of chemisorption[M]. Springer Science & Business Media, 2006.